Basit harmonik hareketin hız ve ivme vektörleri nedir?

Periyodik salınım hareketlerinin temelini oluşturan basit harmonik hareket, fiziksel sistemlerin denge konumu etrafındaki titreşimlerini matematiksel olarak tanımlayan önemli bir kavramdır. Bu hareket türünde cisimlerin konum, hız ve ivme değişimleri arasındaki dinamik ilişkiler, sistemlerin davranışını anlamamızı sağlayan temel denklemlerle ifade edilir.

Konu kakkında 1 soru soruldu ve cevaplandı

Basit Harmonik Hareket Nedir?

Basit harmonik hareket (BHH), bir cismin denge konumu etrafında, yer değiştirmesiyle orantılı ve daima denge konumuna yönelik bir geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle yaptığı periyodik salınım hareketidir. Yay-sarkaç sistemi ve basit sarkaç bu harekete klasik örneklerdir. Hareketin matematiksel ifadesi genellikle sinüs veya kosinüs fonksiyonlarıyla modellenir.

Konum Vektörünün İfadesi

Basit harmonik harekette bir cismin konumunun zamana bağlı ifadesi aşağıdaki gibidir:

x(t) = A cos(ωt + φ)

Burada:

x(t): t anındaki konum
A: Genlik (maksimum yer değiştirme)
ω: Açısal frekans (rad/s)
φ: Faz açısı (başlangıç fazı)
t: Zaman

Hız Vektörünün İfadesi

Hız, konumun zamana göre birinci türevi olduğundan, BHH'de hız vektörünün büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanır:

v(t) = dx/dt = -Aω sin(ωt + φ)

Bu ifadeyi analiz edersek:

Hızın genliği v_max = Aω'dır.
Hız, konum fonksiyonunun (-sin) fazındadır, yani konum maksimumken (genlik noktasında) hız sıfırdır.
Cisim denge konumundan (x=0) geçerken hız maksimum değerine ulaşır.
Hız vektörünün yönü, cismin anlık hareket yönünü gösterir. (-) işareti, faz ilişkisini ifade eder ve koordinat sistemine bağlıdır.

İvme Vektörünün İfadesi

İvme, hızın zamana göre birinci türevi (veya konumun zamana göre ikinci türevi) olduğundan, BHH'de ivme vektörünün büyüklüğü şöyledir:

a(t) = dv/dt = d²x/dt² = -Aω² cos(ωt + φ)

Konum denklemini (x = A cos(ωt + φ)) kullanarak bu ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:

a(t) = -ω²x(t)

Bu ifadeyi analiz edersek:

İvmenin genliği a_max = Aω²'dir.
İvme, konumla ters fazdadır (180° faz farkı). Bu, ivmenin daima denge konumuna doğru yöneldiğini gösterir.
Cisim maksimum yer değiştirme noktasındayken (x = ±A) ivme maksimum değerine ulaşır.
Cisim denge konumundan (x=0) geçerken ivme sıfırdır.

Özet Tablo

Konum: x(t) = A cos(ωt + φ)
Hız: v(t) = -Aω sin(ωt + φ)
İvme: a(t) = -Aω² cos(ωt + φ) = -ω²x(t)

Sonuç

Basit harmonik harekette hız ve ivme vektörleri, konum vektöründen türetilir ve periyodik olarak değişir. Hız, konumdan 90° (π/2 radyan) ileride fazdadır. İvme ise konumla ters fazdadır ve büyüklüğü konumla orantılıdır, yönü ise daima denge konumuna doğrudur. Bu ilişkiler, basit harmonik hareketin temel dinamik özelliklerini oluşturur.

Yeni Soru Sor / Yorum Yap