Basit harmonik harekette hız nasıl hesaplanır?
Periyodik salınım hareketlerinde hızın matematiksel modellemesi, sistemin dinamik davranışını anlamada kritik öneme sahiptir. Basit harmonik hareket özelinde, hızın zamana ve konuma bağlı değişimini açıklayan formüller, salınım sistemlerinin enerji dönüşümlerini ve hareket karakteristiğini ortaya koyar.
Basit Harmonik Hareket (BHH) Nedir?Basit harmonik hareket, bir cismin denge konumu etrafında periyodik olarak salınım yaptığı ve bu hareketin sinüs veya kosinüs fonksiyonlarıyla tanımlanabildiği bir hareket türüdür. Yay-sarkaç sistemi veya basit sarkaç bu harekete örnek olarak verilebilir. BHH'de hız, ivme ve konum birbiriyle matematiksel olarak ilişkilidir. Basit Harmonik Hareketin Temel DenklemleriBHH'de bir cismin konumu genellikle aşağıdaki denklemle ifade edilir: x(t) = A · cos(ωt + φ) Burada:
Basit Harmonik Harekette Hızın HesaplanmasıHız, konumun zamana göre türevi alınarak bulunur. Konum denklemi x(t) = A·cos(ωt + φ) olduğuna göre: v(t) = dx/dt = -A·ω·sin(ωt + φ) Bu, BHH'de hızın zamana bağlı ifadesidir. Hızın maksimum değeri ise: v_max = A·ω olur, çünkü sinüs fonksiyonunun maksimum değeri 1'dir. Hızın Konuma Bağlı İfadesiBazen hızı konum cinsinden ifade etmek daha kullanışlı olabilir. Bunun için enerjinin korunumu prensibinden yararlanılır: Toplam enerji = Kinetik enerji + Potansiyel enerji E = (1/2) mv² + (1/2) kx² Buradan hız için: v = ±ω√(A² - x²) ifadesi elde edilir. Burada:
Örnek HesaplamaBir yay-sarkaç sisteminde:
t = 1 s anındaki hız: v(1) = -0.2·5·sin(5·1 + 0) = -1·sin(5) ≈ -1·(-0.9589) ≈ 0.96 m/s Maksimum hız: v_max = A·ω = 0.2·5 = 1 m/s Konum x = 0.1 m iken hız: v = ±5·√(0.2² - 0.1²) = ±5·√(0.04 - 0.01) = ±5·√0.03 ≈ ±0.87 m/s Önemli Noktalar
|
